FIR濾波器工作原理

　　FIR濾波器工作原理 在進(jìn)入FIR濾波器前，首先要將信號(hào)通過A/D器件進(jìn)行模數(shù)轉(zhuǎn)換，把模擬信號(hào)轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號(hào);為了使信號(hào)處理能夠不發(fā)生失真，信號(hào)的采樣速度必須滿足奈奎斯特定理，一般取信號(hào)頻率上限的4-5倍做為采樣頻率;一般可用速度較高的逐次逼進(jìn)式A/D轉(zhuǎn)換器，不論采用乘累加方法還是分布式算法設(shè)計(jì)FIR濾波器，濾波器輸出的數(shù)據(jù)都是一串序列，要使它能直觀地反應(yīng)出來，還需經(jīng)過數(shù)模轉(zhuǎn)換，因此由FPGA構(gòu)成的FIR濾波器的輸出須外接D/A模塊。FPGA有著規(guī)整的內(nèi)部邏輯陣列和豐富的連線資源，特別適合于數(shù)字信號(hào)處理任務(wù)，相對(duì)于串行運(yùn)算為主導(dǎo)的通用DSP芯片來說，其并行性和可擴(kuò)展性更好，利用FPGA乘累加的快速算法，可以設(shè)計(jì)出高速的FIR數(shù)字濾波器。

　　基本結(jié)構(gòu)

　　FIR濾波器有以下幾種基本結(jié)構(gòu)：

　　橫截型

　　(7.10)式的系統(tǒng)的差分方程表達(dá)式為

　　y(n)=∑h(m)x(n-m)　( 7.11)

　　很明顯，這就是線性時(shí)不變系統(tǒng)的卷積和公式，也是x (n)的延時(shí)鏈的橫向結(jié)構(gòu)，如圖4-11所示，稱為橫截型結(jié)構(gòu)或卷積型結(jié)構(gòu)，也可稱為直接型結(jié)構(gòu)。將轉(zhuǎn)置定理用于圖4-11，可得到圖4-12的轉(zhuǎn)置直接型結(jié)構(gòu)。

　　圖7.11 FIR濾波器的橫截型結(jié)構(gòu)

　　級(jí)聯(lián)型

　　將H (z)分解成實(shí)系數(shù)二階因子的乘積形式

　　其中[N/2]表示取N/2的整數(shù)部分。若N為偶數(shù)，則N—1為奇數(shù)，故系數(shù)B2K中有一個(gè)為零，這是因?yàn)?，這時(shí)有奇數(shù)個(gè)根，其中復(fù)數(shù)根成共軛對(duì)必為偶數(shù)，必然有奇數(shù)個(gè)實(shí)根。圖7-13畫出N為奇數(shù)時(shí)，F(xiàn)IR濾波器的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，其中每一個(gè)二階因子用圖4-11的橫型結(jié)構(gòu)。

　　這種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一對(duì)零點(diǎn)，因而再需要控制傳輸零點(diǎn)時(shí)，可以采用它。但是這種結(jié)構(gòu)所需要的系數(shù)B2k(I = 0，1，2，k，= 1，2，...，[N/2])比卷積型的系數(shù)h (n)要多，因而所需的乘法次數(shù)也比卷積型的要多。

　　圖9.13 FIR濾波器的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)

　　頻率抽樣

　　在第三章中已說過，把一個(gè)有限長(zhǎng)序列(長(zhǎng)度為N點(diǎn))的z變換H (z)在單位圓上作N等分抽樣，就得到H (k)，其主值序列就等于h (n)的離散傅里葉變換H (k)。那里也說到用H (k)表示的H (z)的內(nèi)插公式為(7.13)

　　這個(gè)公式就為FIR濾波器提供了另外一種結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)由兩部分級(jí)聯(lián)組成。(7.14)

　　其中級(jí)聯(lián)的第一部分為(7.15)

　　這是一個(gè)FIR子系統(tǒng)，是由N節(jié)延時(shí)單元構(gòu)成的梳狀濾波器，令

　　則有

　　即Hc (z)在單位圓上有N個(gè)等間隔角度的零點(diǎn)，它的頻率響應(yīng)為

　　因而幅度響應(yīng)為

　　幅角為

　　其子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及頻率響應(yīng)幅度。

　　級(jí)聯(lián)的第二部分為

　　它是由N個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)組成，而這每一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)都是一個(gè)諧振器

　　令H'k(z)的分母為零，即令

　　可得到此一階網(wǎng)絡(luò)在單位圓上有一個(gè)極點(diǎn)

　　梳狀濾波器結(jié)構(gòu)及頻率響應(yīng)幅度

　   FIR濾波器的頻率抽樣型結(jié)構(gòu)

　　也就是說：此一階網(wǎng)絡(luò)在頻率為

　　處響應(yīng)為無窮大，故等效于諧振頻率為2πk / N的無損耗諧振器。這個(gè)諧振器的極點(diǎn)正好與梳狀濾波器的一個(gè)零點(diǎn)(I = k)相抵消，從而使這個(gè)頻率(ω= 2πk / N)上的頻率響應(yīng)等于H (k)。這樣，N個(gè)諧振器的N個(gè)極點(diǎn)就和梳狀濾波器的N個(gè)零點(diǎn)相互抵消，從而在N個(gè)頻率抽樣點(diǎn)上(ω= 2πk / N，k = 0，1，...，N —1)的頻率響應(yīng)就分別等于N個(gè)H (k)值。

　　N個(gè)并聯(lián)諧振器與梳狀濾波器級(jí)聯(lián)后，就得到圖7.15的頻率抽樣結(jié)構(gòu)。

　　頻率抽樣結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是它的系數(shù)H (k)就是濾波器在ω= 2πk / N處的響應(yīng)，因此控制濾波器的頻率響應(yīng)很方便。但是結(jié)構(gòu)中所乘的系數(shù)H (k)及WN都是復(fù)數(shù)，增加了乘法次數(shù)和存儲(chǔ)量，而且所有極點(diǎn)都在單位圓上，由系數(shù)WN決定，這樣，當(dāng)系數(shù)量化時(shí)，這些極點(diǎn)會(huì)移動(dòng)，有些極點(diǎn)就不能被梳狀濾波器的零點(diǎn)所抵消(零點(diǎn)由延時(shí)單元決定，不受量化的影響)。系統(tǒng)就不穩(wěn)定了。

　　為了克服系數(shù)量化后可能不穩(wěn)定的缺點(diǎn)，可以將頻率抽樣結(jié)構(gòu)做一點(diǎn)修正，即將所有零、極點(diǎn)都移到單位圓內(nèi)某一靠近單位圓、半徑為r (r小于或近似等于1)的圓上(r為正實(shí)數(shù))。[1]

　　快速卷積

　　前一章談到，只要將兩個(gè)有限長(zhǎng)序列補(bǔ)上一定的零值點(diǎn)，就可以用圓周卷積來代替兩序列的線性卷積。由于時(shí)域的圓周卷積，等效到頻域則為離散傅立葉變換的乘積。因而，如果

　　即將輸入x (n)補(bǔ)上L—N1個(gè)零值點(diǎn)，將有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)h (n)補(bǔ)上L—N2個(gè)零值點(diǎn)，只要滿足L >= N1 + N2—1，則L點(diǎn)的圓周卷積就能代表線性卷積，即

　　用DFT表示，則有

　　Y(k) =X(k)H(k)

　　因而有

　　其中

　　Y(k) = DFT[y (n)]，L點(diǎn)

　　X(k) = DFT[x(n)]，L點(diǎn)

　　H(k) = DFT[h (n)]，L點(diǎn)

　　這樣，我們就可得到圖7.16的快速卷積結(jié)構(gòu)，當(dāng)N1，N2足夠長(zhǎng)時(shí)，它比直接計(jì)算線性卷積要快得多。這里計(jì)算DFY和IDFT都采用快速傅立葉變換計(jì)算方法。

　　FIR濾波器硬件分類

　　FIR濾波器的硬件實(shí)現(xiàn)有以下幾種方式：

　　集成電路

　　一種是使用單片通用數(shù)字濾波器集成電路，這種電路使用簡(jiǎn)單，但是由于字長(zhǎng)和階數(shù)的規(guī)格較少，不易完全滿足實(shí)際需要。雖然可采用多片擴(kuò)展來滿足要求，但會(huì)增加體積和功耗，因而在實(shí)際應(yīng)用中受到限制。

　　DSP芯片

　　另一種是使用DSP芯片。DSP芯片有專用的數(shù)字信號(hào)處理函數(shù)可調(diào)用，或者根據(jù)芯片指令集的結(jié)構(gòu)自行設(shè)計(jì)代碼實(shí)現(xiàn)FIR的功能;由于FIR設(shè)計(jì)時(shí)其系數(shù)計(jì)算及其量化比較復(fù)雜，因此一般都采用MATLAB軟件作為輔助設(shè)計(jì)，計(jì)算出FIR的系數(shù);然后進(jìn)行代碼設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)。實(shí)現(xiàn)FIR濾波器相對(duì)簡(jiǎn)單，但是由于

　　程序順序執(zhí)行，速度受到限制。而且，就是同一公司的不同系統(tǒng)的DSP芯片，其編程指令也會(huì)有所不同，開發(fā)周期較長(zhǎng)。

　　可編程

　　還有一種是使用可編程邏輯器件，F(xiàn)PGA/CPLD。FPGA有著規(guī)則的內(nèi)部邏輯塊陣列和豐富的連線資源，特別適合用于細(xì)粒度和高并行度結(jié)構(gòu)的FIR濾波器的實(shí)現(xiàn)，相對(duì)于串行運(yùn)算主導(dǎo)的通用DSP芯片來說，并行性和可擴(kuò)展性都更好。

　　特點(diǎn)

　　有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)(FIR)濾波器有以下特點(diǎn)：

　　(1) 系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h (n)在有限個(gè)n值處不為零

　　(2) 系統(tǒng)函數(shù)H(z)在|z|>0處收斂，極點(diǎn)全部在z = 0處(因果系統(tǒng))

　　(3) 結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋，但有些結(jié)構(gòu)中(例如頻率抽樣結(jié)構(gòu))也包含有反饋的遞歸部分。

　　設(shè)FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)h (n)為一個(gè)N點(diǎn)序列，0 ≤ n ≤N —1，則濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

　　H(z)=∑h(n)*z^-

　　就是說，它有(N—1)階極點(diǎn)在z = 0處，有(N—1)個(gè)零點(diǎn)位于有限z平面的任何位置。

　　FIR濾波器音頻應(yīng)用

　　隨著個(gè)人音頻的發(fā)展，曾經(jīng)的IIR濾波器處理音頻帶來的音質(zhì)劣化越來越受市場(chǎng)排斥。原有的IIR雖然具有簡(jiǎn)單，算量小，使用方便的特點(diǎn)，但精度并不足夠，所以在專業(yè)音頻，很多有FIR 4096的音頻算法，例如拉脫維亞的Coneq等。

　　相反的WFIR濾波器

　　為彌補(bǔ)FIR在低分辨率下低頻處理不佳，部分音頻算法使用了相反的WFIR濾波器。與FIR相反，WFIR對(duì)低頻處理較好，而對(duì)高頻無效。而每個(gè)工作點(diǎn)算量使用達(dá)到FIR的6倍。

　　FIR用于音頻的優(yōu)勢(shì)

　　FIR的優(yōu)勢(shì)在于可以無限增加精度(在足夠運(yùn)算能力的前提下)，并且不存在IIR濾波器的相位精度問題，是目前比較高端的解決方案

　　FIR濾波器劣勢(shì)

　　1：因?yàn)椴捎玫木群芨?，所以?duì)計(jì)算資源和內(nèi)存、功耗的使用更高;

　　2：FIR在其他領(lǐng)域主要解決高頻問題，在音頻應(yīng)用常常遇到1Khz以下的信號(hào)，F(xiàn)IR至少需要FIR 512才能對(duì)1K以下產(chǎn)生作用

　　3：過分運(yùn)算，因?yàn)镕IR每個(gè)處理單元寬度不能調(diào)整，因此在解決低頻問題時(shí)，高頻會(huì)出現(xiàn)過分運(yùn)算的情況。

　　新的解決方案

　　包括FIR與IIR的混合使用，以及新型研發(fā)的音頻專用VIR濾波器。